Variabel Acak Matematika Peminatan kelas 12

Variabel Acak Diskrit Matematika Peminaan kelas 12

 

Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan Ananda dapat memahami konsep variabel Acak dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hal tersebut. Sebelum ke variabel acak, ada sedikit pendahuluan tentang statistik inferensial. 

A. Statistik inferensial

Statistik inferensial ada 2 macam yaitu:

Statistik parametrik

yaitu ilmu yang mempertimbangkan jenis sebaran atau  distribusi data apakah data menyebar secara normal atau tidak. Dengan kata lain data yang akan dianalisis menggunakan statistik parametris harus memenuhi asumsi normalitas. 

Secara umum, jika data tidak menyebar normal maka data seharusnya dikerjakan dengan metoda statistik non parametrik, atau setidaknya dilakukan transformasi terlebih dahulu agar data mengikuti sebaran normal, sehingga bisa dikerjakan dengan statistik parametrik. 

Contoh metode statistik parametrik yaitu uji Z, uji t, korelasi pearson, perancangan percobaan (one way anova parametrik. Ciri dari statistik paramterik yaitu data dengan skala interval dan rasio, data menyebar berdistribusi normal. 

Statistik non parametrik

yaitu statistik bebas sebaran (tidak mensyaratkan bentuk sebaran parametrik populasi, baik normal maupun tidak). Selain itu, statistik ini biasanya menggunakan skala sosial, yaitu nominal dan ordinal yang umumnya tidak berdistribusi normal. Contoh, uji tanda, rank sum test. 

Ciri dari statistik non parametrik data tidak berdistribusi normal, umumnya data nominal atau ordinal, penelitian sosial, dengan jumlah sampel kecil.

B.   Konsep Variabel Acak 

Variabel merupakan suatu besaran yang memiliki nilai tidak tunggal, misalnya bilangan asli kurang dari 10, bilangan bulat kurang dari 3, dan waktu tempuh kendaraan. Variabel ada dua yaitu variabel diskrit dan variabel kontinu. 

Variabel diskrit memiliki nilai nilai yang dapat dihitung, sedangkan variabel kontinu memiliki nilai-nilai yang tidak dapat dihitung.

Salah satu contoh variabel diskrit yaitu bilangan asli kurang dari 5, sedangkan salah satu contoh variabel kontinu yaitu bilangan bulat lebih dari 3 dan waktu tempuh kendaraan. Variabel acak merupakan variabel yang nilainya ditentukan oleh hasil percobaan. 

Variabel acak digunakan untuk menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik secara sederhana. Variabel acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, Y, Z atau lainnya sedangkan nilai variabel acak dinyatakan dengan huruf kecil misalnya 𝑥, 𝑦 dan 𝑧.

  

Telah disampaikan bahwa  terdapat dua variabel yaitu variabel diskrit dan variabel kontinu, makan variabel acak pun sama ada variabel acak diskrit dan ada variabel acak kontinu. Variabel acak diskrit diperoleh dari hasil menghitung/membilang, nilainya berupa bilangan bulat. 

Nilai-nilai variabel acak diskrit digambarkan pada garis interval berupa  deretan titik-titik yang saling terpisah, contoh X = banyak sisi gambar yang terlihat pada percobaan melambungkan sekeping uang logam. Variabel acak kontinu diperoleh dari hasil mengukur dan nilainya berupa bilangan riil. 

Nilai-nilai variabel acak kontinu jika digambarkan pada garis interval berupa titik-titik yang saling tersambung membentu garis. Sebagai contoh hasil penimbangan berat badan, hasil pengukuran suhu tubuh, atau hasil pencatatan waktu yang diperoleh seorang pelari mencapai garis finish.  

Pada bagian uraian materi kali ini kita akan membahas secara khusus mengenai variabel acak diskrit. 

Contoh soal:

1. Ayu melakukan pelemparan sebuah dadu satu kali. Hasil yang mungkin diperoleh Ayu  adalah....

Jawab: Misalkan X = mata dadu yang muncul sehingga dapat Ananda nyatakan bahwa  X = {1,2,3,4,5,6}

2. Andika melemparkan satu keping uang logam sebanyak dua kali. Andika mengamati  banyak hasil angka yang diperoleh adalah....

Jawab : Misalkan X = banyak hasil angka yang diperoleh sehingga X = {0, 1,2} 

3. Dewi melemparkan sekeping uang logam sebanyak empat kali.

a. Variabel acak yang menyatakan banyaknya sisi angka yang diperoleh adalah X =  {0,1,2,3,4}

b. Variabel acak yang menyatakan banyaknya sisi gambar yang diperoleh adalah X =  {0,1,2,3,4}

4. Rina melakukan pelemparan dua buah dadu sebanyak satu kali. Variabel acak X menyatakan hasil kali kedua mata dadu. Nyatakan hasil yang mungkin diperoleh sebagai variabel acak

Jawab: ruang sampel dari pelemparan dua buah dadu satu kali adalah sebagai  berikut

 Jika X menyatakan hasil kali kedua mata dadu maka: 

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36}

C.  Peluang Variabel Acak Diskrit

1) Distribusi peluang variabel acak diskrit 

Pada variabel acak diskrit, nilai-nilainya mempunyai peluang. Peluang nilai variabel acak X dinotasikan dengan 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑃(𝑋 = 𝑥). Bentuk penyajian peluang nilai-nilai variabel acak diskrit disebut dengan distribusi peluang variabel acak. 

Distribusi peluang dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, grafik, atau fungsi. Distribusi peluang disebut juga distribusi probabilitas atau fungsi peluang atau fungsi probabilitas. 

 

2) Distribusi peluang kumulatif variabel acak diskrit

Peluang variabel acak X yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai 𝑥, ditulis  dengan 𝐹(𝑥)  =  𝑃 (𝑋 =  𝑥). Nilai 𝐹(𝑥) tersebut dinamakan peluang kumulatif. Misalkan 𝑥 = 𝑐 merupakan salah satu nilai variabel acak X yang memiliki peluang 𝑓(𝑥), maka nilai 𝐹(𝑐) dinyatakan dengan : 

𝐹(𝑐)  =  𝑃 ( 𝑋 ≤  𝑐)  =  𝑓(0)  +  𝑓(1)  +  𝑓(2) + . . . + 𝑓(𝑐).   

Contoh soal: 

Cintia melakukan pelemparan sebuah dadu. Variabel X menyatakan mata dadu yang muncul. Tentukan nilai dari f ( 3 ) dan F ( 3) !

Jawab: 

Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu adalah 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

X = mata dadu yang muncul sehingga dapat dinyatakan 𝑋 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

a. f (3) = P  ( X = 3 ) = 1/6

b. F (3) = P ( X ≤  3 ) 

             = P  ( X = 1 ) + P  ( X = 2 ) + P  ( X = 3 )

             =  1/6 + 1/6 + 1/6

             = 3/6

             = 1/2

3) Distribusi peluang kumulatif variabel acak diskrit

Misalkan 𝑥 adalah variabel acak diskrit yang bernilai 𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛  dan 𝑓(𝑥) merupakan

peluang nilai-nilai variabel acak 𝑋 dengan 𝑖 = 1,2,3,4, … , 𝑛 maka 𝑓(𝑥 ) memenuhi dua sifat berikut 

a. 0 ≤ 𝑓(𝑥 ) ≤ 1 untuk 𝑖 = 1,2,3,4, … , 𝑛

b.  

Contoh. 

Diketahui distribusi peluang variabel acak diskrit 𝑋 berikut.