Ringkasan Materi Fungsi Komposisi Kelas 10
Komposisi atau operasi fungsi secara umum dilakukan untuk menghasilkan nilai tertentu setelah melalui tahapan/prosedur operasi tertentu. Hal ini banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, misalkan tata cara mandi tahapan adalah melepas baju baru dilanjutkan dengan mandi, jika dibalik akan berbeda hasilnya.
Begitu juga dengan benda-benda di sekitar kita banyak yang pembuatannya tidak sekaligus jadi tetapi pengerjaannya bisa melalui beberapa tahap. Misalnya meja dan kursi pada gambar berikut agar siap dipakai dapat dikerjakan melalui beberapa tahap yaitu tahap pengerjaan pembuatan dan tahap finishing. Untuk tahap pembuatanpun melalui beberapa tahap, mulai dari kayu gelodongan (Log), kayu papan, meja – kursi kasar baru finishing.
Untuk membuat mebel berupa meja dan kursi, seorang pengusaha mebel harus mengetahui berapa biaya pembuatan meja dan kursi sampai jadi sehingga biaya tidak berlebih. Pengusaha harus merencanakan dan menghitung satu persatu yaitu biaya pada tahap pengerjaan pembuatan dan biaya pada tahap finishing.
Di dalam matematika, biaya dari setiap tahapan dapat dinyatakan dalam suatu fungsi biaya sehingga biaya totalnya merupakan fungsi komposisi dari setiap tahapan. Sebagai contoh berapakah total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 20 set meja kursi dengan kualitas yang bagus dari seorang tukang kayu yang dapat menghasilkan meja dan kursi yang bagus melalui dua tahap, yaitu tahap pembuatan dan tahap finishing.
Apabila biaya yang diperlukan pada tahap pembuatan adalah Rp750.000,00 per set, dan biaya pada tahap finishing adalah Rp150.000,00 per set. Apabila banyaknya meja dan kursi yang dihasilkan adalah x set dan biaya yang diperlukan pada tahap pembuatan adalah dengan persamaan 𝑓(𝑥) = 750 000 𝑥 + 15000, sedangkan biaya pada tahap finishing dengan persamaan 𝑔(𝑥) = 15000𝑥 + 10000.
Dengan menggunakan operasi fungsi komposisi maka biaya total pembuatan 20 set meja-kursi dapat dihitung.
Untuk lebih memahami masalah Fugsi Komposisi, coba Kalian perhatikan permasalahan berikut :
Suatu penggilingan padi dapat memproduksi beras super melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin-1 yang menghasilkan beras setengah jadi berupa pelepasan kulit padi. Tahap kedua dengan menggunakan mesin-2 yang menghasilkan beras super.
Dalam produksinya, mesin-1 menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi (𝑥) = 𝑥 - 0,10 dan mesin-2 mengikuti fungsi 𝑔(𝑥) = 𝑥 - 1, dengan 𝑥 merupakan banyak bahan dasar padi dalam satuan kg. Jika bahan dasar padi yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 1 ton, berapakah beras super yang dihasilkan dalam ton?
Proses di atas dapat kita gambarkan sebagai berikut:
Dari gambar di atas, terlihat bahwa tahap produksi beras terdiri atas dua tahap yang hasil produksi setiap tahapnya dapat dihitung sebagai berikut.
Hasil produksi tahap I
Rumus fungsi pada produksi tahap I adalah (𝑥) = 𝑥 - 0,10.
Untuk 𝑥 = 1000, diperoleh:
𝑓(𝑥) = 𝑥 - 0,10
= 1000 - 0,10
= 999,90
Hasil produksi tahap I adalah 999,90 kg beras setengah jadi.
Hasil produksi tahap II
Rumus fungsi pada produksi tahap II adalah (𝑥) = 𝑥 - 1. Karena hasil produksi pada tahap I akan dilanjutkan pada produksi tahap II, maka hasil produksi tahap I menjadi bahan dasar produksi tahap II, sehingga diperoleh:
𝑔(𝑥) = 𝑥 - 1
= 999,90 - 1
= 998,90
Dengan demikian, hasil produksi tahap II adalah 998,90 kg beras super. Hasil produksi yang dihasilkan penggilingan padi tersebut jika bahan dasar padinya sebanyak 1 ton adalah 0,9989 ton beras super.
Masalah di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan cara yang berbeda sebagai berikut.
Diketahui fungsi-fungsi produksi berikut.
𝑓(𝑥) = 𝑥 - 0,10……………………………………………..(1)
𝑔(𝑥) = 𝑥 – 1 ………………………………………………(2)
Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), diperoleh fungsi
g(f(x))= (f(x)) – 1 = (x – 0,10) – 1 = x – 1,1.
Dengan demikian, diperoleh fungsi g(f(x))= x – 1,1. (3). Jika disubtitusikan nilai x = 1000 pada persamaan 3, didapat:
g(f(1000))= 1000 – 1,1 = 998,90.
Terlihat bahwa hasil produksi sebesar 998,90 kg. Nilai ini sama hasilnya dengan hasil produksi dengan menggunakan perhitungan cara pertama di atas.
Nilai g(f(x)) merupakan nilai suatu fungsi yang disebut fungsi komposisi f dan g dalam x yang dilambangkan dengan g o f. Karena itu nilai gof di x ditentukan dengan (gof)(x) = g(f(x)).
Masalah di atas merupakan contoh permasalahan komposisi fungsi. Bagaimana sekarang sudah dipahami yang dimaksud dengan komposisi fungsi?
Ayo kita kaji lebih dalam lagi.
Misalkan fungsi f memetakan himpunan A ke dalam himpunan B ditulis 𝑓: 𝐴 → 𝐵, dan fungsi g memetakan himpunan B ke dalam C ditulis 𝑔: 𝐵 → 𝐶, sebagaimana ilustrasi di bawah ini
Untuk 𝑎 maka petanya (𝑎) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi 𝑔, oleh sebab itu pasti diperoleh peta dari (𝑎) di bawah pemetaan 𝑔 yaitu (𝑓(𝑎)). Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen 𝑎 dengan tepat satu elemen ((𝑎)). Fungsi baru inilah yang disebut fungsi komposisi dari 𝑓 dan 𝑔, yang dinyatakan dengan notasi 𝑔 (dibaca “𝑔 bundaran 𝑓”)
Secara singkat, jika 𝑓: 𝐴 → 𝐵, dan 𝑔: 𝐵 → 𝐶 maka kita definisikan suatu fungsi komposisi g o f: 𝐴→ 𝐶 sedemikian hingga (g o f )(𝑎) = 𝑔(𝑓(𝑎)). Perhatikan bahwa fungsi komposisi g o f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan 𝑓 dahulu, baru kemudian mengerjakan 𝑔.
Contoh 1:
Diketahui fungsi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 dan 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐶 dinyatakan dalam pasangan terurut :
f = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}
Tentukanlah:
a) (f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) d) (g o f)(4)
b) (go f) pemetaan oleh f dilanjutkan pemetaan oleh g.
F(0) = 1 dan g(f(0)) = g(1) = 2
F(4) = 5 dan g(f(4)) = g(5) = 3
Sehingga (gof) = {(0,2), (4,3)}
d) (g o f)(4) = 3
Contoh 2:
Diketahui : f : R → R ; f(x) = 2x² +1, g : R → R ; g(x) = x + 3
Tentukan :
a) (f o g)(x)
b) (g o f)(x)
c) (f o g)(1)
d) (g o f)(1)
Penyelesaian:
a) Pada (fog) x dipetakan lebih dulu oleh g(x) kemudian g(x) dipetakan oleh f(x).
(f o g)(x) = f (g(x)) = 2(g(x))² + 1
= f (x+3)
= 2(x+3)²+1
= 2(x² + 6x + 9) + 1
= 2x²+12x+19
b) Pada (g o f) x dipetakan lebih dulu oleh f(x) kemudian f(x) dipetakan oleh g(x)
(g o f)(x) = g(f(x))
= g(2x²+1)
= 2x² + 1 + 3
= 2x² + 4
c) (f o g)(1) = f(g(1))
= f(4)
= 2. (4)² +1
= 2.16 + 1
= 33
d) (g o f)(1) = g(f(1))
= g(3)
= 3 + 3
= 6
Contoh 3:
Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real. f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x² dan h = g o f : A → C. Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!
Penyelesaian:
h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)²
h(x) = 64 → (-x + 1)² = 64 ↔ -x + 1 = 8 atau - 8
-x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x + 1 = -8 ↔ x = 9
Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.
Contoh 4:
Diketahui fungsi komposisi (f o g)(x) = 3x – 2 dan fungsi f(x) = 2x + 1. Tentukan nilai dari g(x)!
Penyelesaian:
(f o g)(x) = 3x – 2 dan f(x) = 2x + 1
(fog)(x) = f(g(x)) = 3x – 2→ f(g(x)) = 2.g(x) + 1
f (g(x)) = f(g(x))
2.g(x) + 1 = 3x – 2
2.g(x) = 3x – 3
g(x) = (3𝑥−3) / 2
Agar kalian lebih memahami materi tentang fungsi komposisi silahkan kerjakan soal latihan berikut
Latihan Soal Fungsi Komposisi
